A spasso fra i pianeti con Kepler

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Johannes Kepler
©Wikimedia commons
Che siano i pianeti (Terra inclusa) a girare attorno al Sole e non il contrario è stata, come ben noto, questione dibattuta per secoli. A parte che "tutto è relativo", ovvero che nessuno ci vieta di considerare la Terra come un valido punto di osservazione, di considerarlo "centro" dell'universo e di lasciare che tutto ci ruoti attorno (dunque Tolomeo in qualche modo ne esce riscattato), la faccenda è un'altra. Si tratta infatti di trovare il punto di vista rispetto al quale i movimenti (reali o apparenti che siano) siano descritti nel modo più "naturale" e semplice possibile. Stare sulla Terra a guardare, in questo senso, non è un'idea furbissima. Certi pianeti (corpi "erranti" rispetto alle stelle "fisse") cominciano a fare le bizze, ad andare prima da una parte, poi per un po' in direzione opposta. Altri pianeti, invece, insistono sempre nello stesso verso di moto. La storia - fatta di numeri, calcoli, osservazioni, misure e soprattutto di vicende umane - ci porta a conoscere l'opera splendida di Copernicus, Brahe, Kepler e Newton i quali costruiscono un edificio di conoscenza e comprensione del sistema solare (e di altri corpi celesti) che ancora resiste alla sfida dei tempi, almeno nei suoi tratti fondamentali. La rivoluzione copernicana, che pone notoriamente il Sole al centro del sistema di pianeti che gli orbitano attorno, riceve supporto sperimentale a partire dalle osservazioni astronomiche di Tycho Brahe, svolte per lo più nell'osservatorio (senza telescopi!) confinato sulla minuscola isola di Hven, fra Danimarca e Svezia. In qualità di suo assistente, Kepler ha accesso a una mole impressionante di dati che fa propri per sviluppare una teoria descrittiva dei moti dei pianeti. Va detto che Brahe non crede all'ipotesi eliocentrica di Copernicus ma che, al contempo, sostenuto dallo stesso Kepler, rigetta una visione tradizionale di tipo geocentrico, tolemaica, secondo la quale tutto ruota attorno alla Terra. Brahe pensa che il Sole giri attorno alla Terra ma che i pianeti ruotino attorno al Sole, che a sua volta li trascina nel loro moto complessivo nella volta celeste. Kepler, confortato dai numeri che Brahe gli lascia in eredità, si convince però della validità dell'ipotesi copernicana e, come opera somma dei suoi studi, giunge alla formulazione di tre leggi che descrivono il comportamento dei pianeti in rivoluzione attorno alla loro stella, il Sole. Queste leggi, enunciate in due diversi momenti della vita di Kepler (le prime due nel 1609, nel testo Astronomia Nova, la terza nel 1618, riportata nell'opera Harmonices Mundi), sono di profonda ispirazione per lo sviluppo successivo della meccanica celeste e, più in generale, della teoria della gravitazione universale secondo Isaac Newton.
Questa, in (troppo) poche parole, è la storia da raccontare. La fisica invece, qual è? Cosa sono in pratica le leggi di Kepler? Cosa ci dicono sul moto dei pianeti? Molte cose. Proviamo a riassumerle.
Anzitutto il tipo di traiettoria ovvero di orbita percorsa dai pianeti: si tratta di ellissi, cioè circonferenze "schiacciate" in una certa misura (molto poco, invero, praticamente per tutti i pianeti del sistema solare, tranne Plutone, che percorre una forma molto allungata: però questo non è più un pianeta, è stato declassato a pianetino, per le sue particolari caratteristiche). I cerchi hanno un centro, com'è noto; le ellissi ne hanno invece due, che si chiamano fuochi. In uno di essi c'è il Sole. I movimenti ellittici dei pianeti avvengono tutti su piani che mantengono orientazione fissa nello spazio siderale. Visto che la forma dell'orbita non è circolare, va da sé che esistono punti di massimo e di minimo avvicinamento al Sole durante il periodo di rivoluzione (il cosiddetto anno solare o, a seconda del riferimento scelto per misurarlo, anno sidereo). Alla massima distanza dal Sole si parla di afelio, a quella minima di perielio. Si tratta di distanze in assoluto di tutto rispetto (variano di circa 4 milioni di chilometri una dall'altra), ma relativamente piccole rispetto al raggio medio dell'orbita della Terra attorno al Sole (circa 148 milioni di chilometri). Un'idea tanto diffusa quanto errata riguarda la presupposta origine delle variazioni stagionali estate-inverno in termini di variazioni di distanza dal Sole. Il fatto è che in inverno boreale (da noi, per intenderci) la Terra è più vicina al Sole che non al solstizio estivo. La causa del clima caldo/freddo è da imputarsi invece all'inclinazione dell'asse polare terrestre sul piano di rotazione del nostro pianeta attorno al Sole (piano dell'eclittica). Durante le stagioni per noi fredde, la luce solare arriva più obliquamente (e per un periodo di illuminazione diurna ridotto) rispetto alle stagioni per noi calde.
La seconda legge di Kepler riguarda invece il fatto che i pianeti percorrono la loro orbita annuale con velocità variabili: tanto più elevate quanto più si è vicini al Sole (perielio) e, di conseguenza, tanto più ridotte quanto più ci si allontana dalla nostra stella (afelio). Kepler deduce questo fenomeno in maniera un po' fortuita (i suoi conti si riveleranno errati) ma la legge è corretta. La sua formulazione riguarda la cosiddetta "velocità areolare", ovvero quanta area "spazzi" (copra) una lancetta che congiunge il Sole al pianeta che ci interessa in un dato intervallo di tempo. Kepler afferma che in tempi eguali il pianeta copre aree eguali, ovvero che la velocità areolare è costante. Più vicini al Sole, più si corre. Più lontani, meno si corre. Questo fenomeno è esattamente equivalente a quello che si osserva giocando, per esempio, con una pallina lanciata sul bordo di un imbuto e lasciata ruotare: grazie alla forza di gravità, la pallina comincia a cadere verso il foro dell'imbuto ma, senza ombra di dubbio, la sua velocità di rotazione aumenta, diventa sempre maggiore man mano che essa viene "risucchiata" in basso. In realtà, quello che accade è che, cadendo, la distanza dal foro (cioè dal centro di attrazione) diminuisce e qualcosa fa sì che di conseguenza aumenti la velocità con la quale ruota la pallina. Questo qualcosa è ben noto ai fisici e si chiama "momento angolare" (o "momento della quantità di moto") della biglia. Se le forze in gioco agiscono sempre e soltanto secondo la direzione congiungente la pallina con il centro di rotazione (il centro di attrazione, in altri termini), questa grandezza non cambia o, come meglio si dice, si conserva. In altre parole, la II legge di Kepler è conseguenza diretta e indiscutibile della "conservazione del momento angolare". Questo perché la forza di attrazione fra due masse o, nella fattispecie, fra il Sole e un qualunque pianeta, è di tipo "centrale", come quella che attira la pallina nel centro dell'imbuto. Newton avrebbe utilizzato questo risultato empirico, osservativo di Kepler per consolidare una teoria della gravitazione universale nella quale la forza è di tipo centrale.
Passano anni perché la terza legge di Kepler veda la luce. Ma vale la pena di aspettare, perché anche questa legge è molto potente da un punto di vista predittivo e di nuovo a supporto della successiva formalizzazione newtoniana della gravitazione universale. Si tratta di una regola tanto semplice quanto importante: in essa si spiega che c'è una relazione quantitativa fra il tempo impiegato dal pianeta per fare una rivoluzione attorno al Sole (la durata del suo anno) e una misura della sua distanza dal Sole stesso. Più precisamente, si dichiara che prendendo il quadrato della durata dell'anno del pianeta (espresso in unità di misura appropriate, per esempio "anni terrestri") e dividendo questo numero per il cubo (la terza potenza) della distanza media pianeta-Sole (o, più precisamente, del semiasse maggiore dell'ellisse percorsa - ma questo è un dettaglio - misurata in unità di misura anche appropriate, per esempio "unità astronomiche", ovvero multipli della distanza Terra-Sole), si ottiene un valore che è costante per tutti i pianeti del sistema solare. Anzi, utilizzando le unità di misura terrestri (un anno solare e una distanza Terra-Sole), si ottiene proprio "uno" per questo rapporto a prescindere che si tratti della Terra, di Giove, Urano o quello che ci pare. Spettacolare. Vuol dire che per fare un giro attorno al Sole, un pianeta impiega tanto più tempo quanto più esso è lontano dalla nostra stella: questo ha senso fisico, perché maggiore lontananza vuol dire minor forza attrattiva e questo implica minore accelerazione "centripeta", che è proporzionale alla velocità di rivoluzione. Fatti i debiti conti (come li avrebbe in realtà eseguiti poi Newton, non senza difficoltà visto che non era attrezzato a dovere da un punto di vista della matematica richiesta) si scopre che una legge di questo tipo è perfettamente compatibile - anzi, ne deriva - con una legge di interazione gravitazionale fra corpi (celesti o altro che siano) che diminuisce con il quadrato della distanza fra i corpi stessi, ovvero la famosa legge di gravitazione universale di Newton. Per fare un esempio (ovvero per dare i numeri, come sono soliti fare i fisici): Marte dista dal Sole circa 1,5 unità astronomiche (ovvero, circa una volta e mezzo la distanza Terra-Sole). Facendo il cubo di questo valore si ottiene circa 3,4 la cui radice quadrata (l'inverso del quadrato, infatti) è pari a circa 1,9. Questo implica che Marte impiega circa 1,9 anni terrestri a ruotare attorno al Sole. Mercurio è a una distanza pari a 0,4 unità astronomiche. Stesso giochetto, si ottiene che la radice quadrata del cubo di 0,4 è pari a 0,25: Mercurio corre veloce (lo si sapeva), tanto che impiega un quarto d'anno solare terrestre (3 mesi terrestri, se si preferisce) per una rivoluzione completa.
Non è meraviglioso che una così semplice relazione spieghi la complessità e l'ordine degli "erranti" del nostro (e di altri) sistema solare? Non è fantastico che qualcuno, anche se poggiando sulle spalle dei giganti, come dichiarava Newton, sia riuscito a svelare il mistero di questa macchina cosmica? Magica fisica. Bellissima scienza.

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