Il mistero della sezione aurea

Una verifica sulla bellezza del rapporto aureo

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  • 16-02-2006
  • di Alessandro Zocchi
La sezione aurea è un rapporto tra due lunghezze, pari a 1,61803... I puntini stanno ad indicare che le cifre dopo la virgola non finiscono mai. Infatti è un numero irrazionale, come "pi greco" (p), ma questo viene chiamato "phi" (f)6. Se abbiamo quindi due listelli lunghi un metro potremo prenderne altri due lunghi un metro e 62 centimetri (f approssimato) e costruire una cornice rettangolare, a sezione aurea appunto. Ebbene, secondo molti artisti, architetti e umanisti in genere la nostra cornice sarà capace, grazie alle sue proporzioni "auree", di suscitare sensazioni di gradevolezza, armonia e serenità, molto più di un quadrato o di un rettangolo allungato. Apparentemente l'effetto è tale che si pensa che sin dai tempi antichi questa proporzione sia stata applicata per costruire numerose opere architettoniche e pittoriche, come le Piramidi, il Partenone o la Vergine delle Rocce di Leonardo[1],[2]. Ma non solo. Anche nella musica sembra che il rapporto aureo abbia un ruolo fondamentale, come quello di stabilire intervalli musicali particolarmente gradevoli. La storia viene poi rafforzata dal fatto che il rapporto aureo viene ritrovato in molti elementi naturali, come le circonvoluzioni di certe conchiglie, la disposizione dei semi in una mela o il rapporto tra l'altezza di un uomo e quella del suo ombelico (moltiplicate la distanza da terra dell'ombelico per 1,62 e otterrete la vostra altezza). Il tutto ha contribuito a creare un alone di mistero attorno a questo fenomeno. Ma come nasce esattamente la sezione aurea?
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Nel 300 a.C. Euclide, il noto matematico di Alessandria d'Egitto, definì per la prima volta il rapporto f, chiamandolo proporzione estrema e media. Veniva definito su un segmento AB (fig. 1) diviso in un punto C tale che AB/AC=AC/CB. Il valore è appunto pari al nostro numero irrazionale. Tuttavia l'interesse di Euclide era interamente concentrato sugli aspetti matematici del rapporto. Infatti non si hanno notizie certe sulla sua applicazione all'arte in quel periodo e comunque non si parlava mai di sezione o di rapporto aureo. Le cose sembra siano andate avanti così fino al XV secolo d.C. quando Luca Pacioli, matematico italiano, scrisse il De divina proportione. In quest'opera, illustrata nientemeno che da Leonardo da Vinci, Pacioli fece un'analisi delle caratteristiche architettoniche e del corpo umano e si convinse che la proporzione di Euclide si trovasse nelle opere umane e naturali più belle. Tuttavia il termine sezione aurea non comparve prima del 1800, su alcuni scritti ad opera di matematici tedeschi.[2]
Fu quindi dal Rinascimento in poi che la sezione aurea acquisì una specie di significato magico, duro a morire. Ancora oggi la sezione aurea viene insegnata nelle scuole d'arte e in diversi testi viene dato per scontato che la sua applicazione generi opere esteticamente gradevoli [3]. Addirittura in un classico cortometraggio di Walt Disney, intitolato Paperino nel mondo della matemagica, una parte del cartone animato è dedicata alla proporzione aurea e alle sue proprietà geometriche ed estetiche. Tutto sembra indicare come la natura sia plasmata su questo principio e come l'uomo sia istintivamente attratto da esso e inconsciamente indotto a riprodurlo.

Ma come stanno effettivamente le cose? È vero che la mente umana possiede un meccanismo intrinseco che genera sensazioni piacevoli di fronte al rapporto aureo?
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Da un punto di vista psicologico la fama che la sezione gode ancora oggi è dovuta in larga parte al primo psicologo che tentò di dimostrare sperimentalmente la sua efficacia estetica, Gustav Theodor Fechner (1801-1887). Fechner effettuò diversi sondaggi e numerosi esperimenti con persone chiedendo loro quale fosse il rettangolo più gradevole tra quelli da lui mostrati. Invitò anche le persone a disegnare il rettangolo per loro più piacevole da guardare. Le sue conclusioni furono che esisteva una naturale preferenza per la sezione aurea ma tale convinzione derivava unicamente dall'esperimento di scelta dei rettangoli nel quale il 35 per cento dei soggetti indicò quello aureo come il migliore. Negli altri casi non ci fu una preferenza particolare ma il primo risultato fu sufficiente per innescare un processo i cui effetti sono vivi ancora oggi. Fechner passò anche molto tempo a misurare ogni genere di oggetti costruiti dall'uomo: quadri, libri, croci tombali, finestre, carte da gioco eccetera. Ma anche in questi casi non trovò sostanziali preferenze. Purtroppo i dettagli delle sue procedure sperimentali non sono totalmente noti e non è stato quindi mai possibile ripetere esattamente i suoi esperimenti. Ad esempio non si sa se i rettangoli da lui presentati erano in posizione verticale o orizzontale, o con quale sequenza venivano mostrati. Comunque siano andate le cose, nel 1908, C. Lalo pubblicò i risultati di una replica dell'esperimento di Fechner e trovò un effetto simile al suo: una preferenza di circa il 30 per cento per il rettangolo aureo. Tuttavia trovò anche una discreta frequenza di scelta per i rettangoli agli estremi della serie presentata, il quadrato e il rettangolo con il rapporto di 2,5.

Durante tutto il XX secolo la sezione aurea fu sottoposta a numerosi test cercando di analizzare ogni fattore psicologico e metodologico che avrebbe potuto influenzare le preferenze estetiche individuate da Fechner. Molti autori hanno sottolineato che, indipendentemente dal risultato ottenuto, le procedure sperimentali non consideravano determinati aspetti che potevano falsare l'esito del test. Infatti, è interessante notare come le prove a favore del valore estetico di f tendono a ridursi sempre più col passare del tempo, ma ci vollero più di cento anni per arrivare ad una conclusione. Ma procediamo con ordine riassumendo le principali ricerche.
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Una delle prime critiche che fu rivolta a Fechner riguardava la possibile preferenza dell'occhio umano per rettangoli disposti con il lato maggiore orizzontalmente, seguendo quindi l'ampiezza del campo visivo. Nel 1966 H.R. Schiffman pubblicò un esperimento in cui chiese ad alcune persone di disegnare un rettangolo per loro piacevole. Successivamente li pregò di orientare il disegno in verticale o orizzontale a seconda di come lo preferivano. Risultò una netta preferenza per la disposizione orizzontale ma il rapporto medio tra i due lati era di 1,9, considerato lontano da quello aureo ma anche da quello medio del campo visivo, circa 1,5.

Un altro fattore potenzialmente importante poteva essere l'influenza culturale. E fu D.E. Berlyne, nel 1970, che si interessò di questo aspetto. Egli mostrò a 33 ragazze canadesi e 44 giapponesi una serie di rettangoli. Il risultato fu eclatante: in entrambi i casi la prima scelta è stata di figure simili al quadrato mentre il rettangolo aureo fu scelto solo dal 9 per cento delle canadesi e il 5 per cento delle giapponesi.

Un altro possibile problema da affrontare era il fattore della posizione media dei rettangoli presentati. In pratica un'ipotesi suggeriva che si tenderebbe a scegliere il rettangolo con il rapporto a metà tra quelli presentati. Per ovviare a questo problema nel 1974 M. Godkewitsch, dell'Università di Toronto, ideò un altro esperimento in cui presentava tre gruppi di rettangoli. Ognuno conteneva quello aureo ma nel primo gruppo si trovava, come rapporto, vicino a quello più allungato, nel secondo a metà e nel terzo vicino a quello più corto. Il risultato fu che i soggetti preferivano effettivamente i rettangoli a metà tra quelli più lunghi e quelli più corti della serie presentata e il rettangolo aureo veniva indicato solo se si trovava nel mezzo. Ma pochi anni dopo, nel 1976, J. Benjafield replicò lo stesso esperimento tenendo conto però di due fattori: l'area dei rettangoli e l'ordine di scelta. In un primo esperimento i rettangoli mostrati nelle tre serie mantenevano la stessa area ed il rettangolo aureo fu preferito in tutte e tre le serie. Nel secondo caso i rettangoli venivano mostrati tutti assieme e veniva chiesto di dividerli in due gruppi: quelli piacevoli e quelli sgradevoli. Successivamente si chiedeva di scegliere, tra quelli piacevoli, quelli molto piacevoli e poi, tra questi, il migliore. Il risultato fu una maggior frequenza di scelta per i rettangoli larghi ma non per quello aureo.

I.C. McManus nel 1980 mise in risalto un altro fattore: la scelta poteva avvenire secondo un continuo confronto tra coppie di elementi anche se tutti i rettangoli erano mostrati contemporaneamente. Per questo motivo effettuò un esperimento in cui i rettangoli venivano presentati a due a due. Questo autore trovò una netta preferenza per i rettangoli con un rapporto altezza/lunghezza attorno a quello aureo anche se non gli fu possibile distinguere tra rapporti di 1,5, 1,6 e 1,75.

George Marckowski, nel 1992, criticò il fatto che gli esperimenti di Fechner e molti di quelli più recenti erano spesso effettuati con un basso numero di rettangoli, riducendo di molto il campo d'azione delle scelte. I suoi esperimenti si basarono quindi su delle tavole contenenti ben 48 rettangoli in cui le figure erano disposte casualmente o secondo uno schema che seguiva l'ordine delle proporzioni. In entrambi i casi il rettangolo preferito è stato quello con il rapporto di 1,83, vicino a 1,62 ma quello aureo non ebbe un punteggio diverso da altri rettangoli.

Arriviamo a questo punto al 1995 quando Cristopher D. Green, del Dipartimento di Psicologia della York University, in Canada, cerca di fare il punto della situazione in un'estesa revisione [4] delle ricerche. Tuttavia l'autore conclude che: "appare in realtà esserci un qualche effetto psicologico associato al rapporto aureo ma sembra essere relativamente sensibile agli errori metodologici sperimentali". Fu forse anche per questa continua mancanza di dati definitivi che nel 1997 esce un fascicolo speciale di "Empirical studies of arts"[5] dedicato alla proporzione aurea dove vengono illustrati i risultati di sette differenti ricerche che riprendono molti degli aspetti studiati negli anni precedenti. La differenza però sta in un protocollo sperimentale moderno che tiene conto delle premesse metodologiche necessarie per ottenere un risultato statisticamente accettabile. Questi studi affrontavano in particolare: il modo in cui il rapporto aureo è inserito negli oggetti, l'influenza del tipo di presentazione dei rettangoli, le preferenze di designer professionisti nel suddividere una linea, la frequenza dei rapporti altezza/larghezza in dipinti considerati di arte eccelsa e di arte popolare, la produzione di disegni di rettangoli, le preferenze di sagome e il posizionamento di oggetti in contesti particolari.

In nessuno di questi studi fu possibile trovare una preferenza significativa per il rapporto aureo, anzi in alcune ricerche sono stati scelti più frequentemente altri rapporti. È per questo che Holger Höge, dopo aver ripetuto nel modo più fedelmente possibile gli esperimenti di Fechner, intitola l'ultimo articolo3 di questo fascicolo "The golden section hypothesis - Its last funeral".

Ma allora, dopo queste conclusioni, perché alcuni ritrovano il rapporto aureo nelle opere d'arte? Come fa notare Mario Livio nel suo libro La sezione aurea [5] probabilmente se uno vuole trovare a tutti i costi un rettangolo aureo in un'opera d'arte gli basterà variare i punti di riferimento. Negli effetti in molti casi riportati dai sostenitori del rapporto aureo non si capisce bene perché lati e vertici del rettangolo vengano fatti combaciare con certi punti dei dipinti e non su altri. Anche per le opere architettoniche vale lo stesso discorso. Ad esempio il Partenone, probabilmente l'opera più citata in assoluto come esempio della presunta applicazione del rapporto aureo nei tempi antichi, viene di solito rappresentato con il rettangolo aureo che circoscrive la facciata, escludendo il basamento. Riprendendo le misure del Partenone da varie fonti e applicandole al rettangolo così rappresentato non si ottiene mai il rapporto aureo, anzi se ne sta molto lontani: 2,25. La cosa strana è che se includiamo il basamento non otteniamo lo stesso il rapporto aureo bensì il rapporto di 1,725.
In conclusione, dopo più di un secolo di studi sembra ormai certo che l'ipotesi riportata da Fechner non sia vera e l'esito finale riportato dagli autori moderni è che la sezione aurea non possiede particolari qualità estetiche. L'unico vero mistero è il motivo per cui Fechner ha trovato una preferenza per la sezione aurea nei suoi esperimenti iniziali. A lui va comunque il grande merito di essere stato uno dei pionieri della psicologia sperimentale.

Ad ogni modo se volete mettere alla prova voi stessi guardate la figura nel Box 1. È una tabella di rettangoli ridisegnata da quelle utilizzate nei test di Marckowski nel 1992. Qual è per voi il rettangolo più piacevole?
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Alessandro Zocchi, Psicobiologo e Psicofarmacologo, lavora come ricercatore nel campo delle basi biologiche delle malattie psichiatriche.

Note


1) Livio M. (2003), La sezione aurea, Roma: Rizzoli.
4) Badesha J. e Horley J. (2000), "Self-construal among psychiatric outpatients: a test of the golden section", British Journal of Medical Psychology, 73, Pt 4, pp. 547-51.
5) AAVV (1997), "Empirical studies of arts", 15, pp. 111-255.